橘子：今天，和大家分享一篇很“硬核”的數(shù)學(xué)攻略。
最近，有花友推薦了這篇文章，在社區(qū)內(nèi)居然引起了大家蠻熱烈的關(guān)注。
文章作者是數(shù)學(xué)博士，還是一位數(shù)學(xué)老師，高中數(shù)學(xué)幾乎每次都能拿到滿分。
(資料圖片僅供參考)
最近，他在知乎熱門問題“我一直很好奇，高中數(shù)學(xué)考試每次145+的人是怎么做到的“寫了條回答，分享了他的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗，收到了八千多條贊同、六百多條評論，非常受歡迎。
文章很長很詳細(xì)，作者分享了自己高中數(shù)學(xué)能拿到滿分的九個數(shù)學(xué)習(xí)慣，沒有很“高大上”，非常接地氣，很多方法論，咱們普娃也能適度地參考起來。
橘子通篇讀了這篇文章后，有個很深刻的印象：要想高中數(shù)學(xué)成績還不錯，到了高中再臨陣磨槍可能會比較吃力。前期的數(shù)學(xué)習(xí)慣很重要，包括預(yù)習(xí)習(xí)慣、打草稿習(xí)慣、做題習(xí)慣、教材學(xué)習(xí)習(xí)慣等，越早抓越受益。
這篇攻略貼，被不少網(wǎng)友們標(biāo)記為“寶藏貼“：
花友 @雨天有時下藍(lán)鯨：誠意滿滿的經(jīng)驗，感覺娃的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有了方向。
網(wǎng)友 @知鳶：謝謝題主的分享，看了后醍醐灌頂，可惜現(xiàn)在才看到，當(dāng)年念書的時候就是題主口中的不知學(xué)習(xí)為何物的學(xué)生，渾渾噩噩經(jīng)歷高考。現(xiàn)在看到也算有幸，可以應(yīng)用到孩子身上。
網(wǎng)友 @sinocare：邏輯太清晰 文筆太清秀。
今天，我們獲得了這位熱情知乎網(wǎng)友“川上老師“的授權(quán)，和大家分享這篇攻略。
下面，就來看看這位數(shù)學(xué)老師的大白話。讀完后，也許能對帶娃學(xué)數(shù)學(xué)，有些新的啟發(fā)～
圖片：作者的草稿；本文轉(zhuǎn)載授權(quán)自知乎網(wǎng)友 @川上老師
---? 以下為正文 ---
我高中數(shù)學(xué)幾乎每次都能考滿分，要么就是稍微錯個幾分在145分+的水平，后來碰上自主招生，去了幾所985大學(xué)自主招生考試，考數(shù)學(xué)也都是滿分。
后來，我選的大學(xué)數(shù)學(xué)院副院長和我是老鄉(xiāng)，他直接打電話到我家里讓我把志愿填過去。我也沒有辜負(fù)他的期望，一路學(xué)習(xí)到博士。順帶提一句，不少人說浙江江蘇卷145分+很難考，但我當(dāng)年就是浙江考生。
有一句話說得好，學(xué)霸考滿分是因為只有這么幾分能考。
當(dāng)年對我而言，數(shù)學(xué)是我的強(qiáng)勢科目，確實是巴不得多個五十分上限。每次數(shù)學(xué)考試結(jié)束，所有同學(xué)都會來搶我的數(shù)學(xué)試卷來估分（只上交答題卷，我會在試卷上寫好答案）。甚至鬧過一次烏龍，有一次一個選擇題極難，我也考慮失誤做錯了，他們寧可相信是老師給的標(biāo)準(zhǔn)答案錯了，也不愿意相信是我寫錯了。
關(guān)于高中數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)，我說一下我的看法：如果你平時成績在某個分?jǐn)?shù)左右波動，可以認(rèn)為你的實力就在考那個分?jǐn)?shù)的水平，但是如果你想次次都考滿分，就至少得有個能考兩百分的水平。換言之，成績穩(wěn)定在140左右和穩(wěn)定在145+的同學(xué)，雖然只有不到十分的差距，但是知識的儲備量至少相差了好幾本書。
當(dāng)我念高中的時候也會經(jīng)常有同學(xué)來問我，為什么大家做完都來不及，而你卻總是能考滿分。
于我而言，我覺得我每次成績都考很好，主要是做到了下面幾點：
1
計算功底，要扎實
正所謂“一力降十會”，在絕對的計算能力面前，所有的運算技巧、解題技巧都相形見絀。尤其是高考中的解析幾何大題，基本沒有任何思考量，純粹地考察學(xué)生的計算能力。
而在21世紀(jì)，計算數(shù)學(xué)甚至成為了數(shù)學(xué)系的四大主要分支之一。
計算是數(shù)學(xué)中最根基的部分，只有計算能力強(qiáng)大，才能為你節(jié)約大量考試時間。
目前應(yīng)該除了上海高考外都禁止用計算器，而且即使上海考試有計算器的加持，強(qiáng)大的心算能力也是非常必要的。甚至你需要熟練使用小學(xué)時候?qū)W習(xí)的記憶20以內(nèi)數(shù)的平方、2的10次以內(nèi)的冪、3或者5的4次以內(nèi)的冪、頭同尾合十心算技巧等等。
如何算得又快又對，雖然是小學(xué)時候就學(xué)的東西，但是終身受用。
高中數(shù)學(xué)解析幾何題：需要較強(qiáng)的計算能力
關(guān)于計算能力的重要性，這和賊叉老師的思路是一樣的。如何提高娃的計算能力，之前咱們還和賊叉老師做過一期專訪：
2
不用太早，需要提前預(yù)習(xí)
我并沒有提前太早學(xué)習(xí)新課，但是至少每個學(xué)期發(fā)新書后，我會抽一些晚自習(xí)的時間，把整個學(xué)期的數(shù)學(xué)書看一遍（其實所有學(xué)科的教科書我都這樣干）。全部看完并且理解以后，老師講課的時候再聽一遍，就相當(dāng)于學(xué)習(xí)了兩遍。
人們總說學(xué)霸不聽課不做作業(yè)的，其實我想說不是。
我雖然不太聽課，但作業(yè)還是要做的：因為看過一遍教科書，自己對著輔導(dǎo)練習(xí)冊做做題就會了。
因為知識都掌握了，所以數(shù)學(xué)課對于我而言就是自修課。數(shù)學(xué)老師也跟班上同學(xué)說，要是跟我一樣次次考滿分，也可以不聽課。
不過，上課的這個時間我并沒有閑著，我會選擇做一些競賽題。當(dāng)然也不是完全不聽課，稍微聽一些，覺得有趣的，會自己做一些探究課題。
人教版2019年高中數(shù)學(xué)必修教材目錄
3
不偷懶，題要多練
總有同學(xué)說，題型太多變了，每次學(xué)習(xí)了這個，他又換個題目考。
我只能說，做的題目還是太少了。
高考不是競賽，如果你刷的題足夠多，你就能幾乎做過所有高頻的考點。
我高一就開始刷高考卷，刷到高考還在刷。高一的時候高考卷自測根本不及格，很多題都看不懂。但那又怎么樣呢，做著做著就會了。到了高三正常考試的時候，基本就是手到擒來，而且很自信，做下去就對。
也就是說，不要在考試的時候去思考新的解法，思考方法的時間應(yīng)該花在課后，而不是在考場上。
真正的高分考生，基本就是看到一道題，就知道他在考察你什么知識點，也知道該用什么方法做。嘗試一下，基本路就走通了，如果還走不通，再換個方法試試。
2018年高考全國卷1數(shù)學(xué)試題
4
不局限于教材，廣泛地學(xué)習(xí)課外知識
在這里，我想拿大家都能懂的雞兔同籠問題舉例子。
這是在我國國內(nèi)非常著名的小學(xué)生奧賽題，基本所有受過奧賽培訓(xùn)的小學(xué)生都能熟練解出雞兔同籠問題。
但是他們用的方法，以及他們老師教學(xué)的方法，一般是這樣的：
假如所有動物都是雞，那么少了幾只腳，每把一只雞換成一只兔，多兩只腳，因此就能算出有多少只兔子，剩下的就全是雞。
而對于初中生來說，雞兔同籠問題是一個二元一次方程組問題，通過消元法可以快速計算雞兔數(shù)目。
雞兔同籠題目
我想舉這個例子來說明，對于數(shù)學(xué)題來說，解法并不一定是唯一的，甚至有些解法對于題目而言是“降維打擊”的、是“秒殺”的。
看到一個要求計算線段比例的向量題目，中規(guī)中矩的方法要求建立基底一步步計算，甚至標(biāo)準(zhǔn)答案也會這么求解。
但是如果你能熟練使用梅捏勞斯定理、塞瓦定理、斯特瓦爾特定理等這些競賽書上有，教科書上根本沒有的定理，你就會發(fā)現(xiàn)有時候一個填空題只需要十秒鐘就能做完，甚至還不到十秒。
在我自己考試時，我總是發(fā)現(xiàn)在選擇填空上我就能比身邊的同學(xué)快上二十分鐘。
我同桌以前和我說，最緊張的一次考試是有一份四頁的考試卷，他還在第一頁做選擇，我已經(jīng)翻面做第三頁大題了。
相信很多同學(xué)學(xué)習(xí)過“解三角形”這一節(jié)課。我們知道了在三角形中有正弦定理和余弦定理。但是課外的習(xí)題還有“非直角三角形△ABC中，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC”這樣的結(jié)論，也幫我快速解決過無數(shù)解三角形大題。
除此以外，我發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)最希望聽老師說的一句話就是“這個不考”，就把某個知識點一劃，便再也不看。
據(jù)我所知，在三角函數(shù)這一章節(jié)，很多省份不考積化和差、和差化積這兩組共八個公式，還有萬能公式、半角公式也并不在考綱里。
積化和差公式
但這些名詞，即使不在考綱里，也很可能會出現(xiàn)在課堂上老師的口中：“我們講一個從教材中刪掉的重要知識點……”
但是對于我來說，在我的中學(xué)階段，出于求知，我會把這些“額外”知識點自己單獨推導(dǎo)至少一遍，而實踐也證明了：若是真的考試用不上，任課老師為什么還要分出寶貴的課堂時間來講這些東西？
而到了博士階段，也有不少中學(xué)生向我請教問題，出于對知識的敬畏，以及對那些先驅(qū)者的尊重，我也會嚴(yán)格要求那些學(xué)生們記住那些“不考，沒用”的知識點。
書上出現(xiàn)的著名定理，我還要求他們必須熟知是哪個國家的哪個數(shù)學(xué)家提出的。因為有一句格外打動我的話是這么說的：“你在課本上隨手劃下的一行公式，很可能就是某個人一生的全部工作。”
5
做題習(xí)慣要好
我在這里提到的做題習(xí)慣，主要指的是以下三個部分。
第一個，指的是計算的時候心態(tài)好，耐心。
每一步計算時心態(tài)都很平靜，不浮躁。
寫下每一個數(shù)字的時候都會順手檢查一遍有沒有算錯或者抄錯。這一點在面對計算量巨大的題，尤其是坐標(biāo)系下的立體幾何題、解析幾何題以及導(dǎo)數(shù)大題時尤為重要。
不知道看到這里的小伙伴們有沒有做大題時候算錯了重算導(dǎo)致時間來不及的情況呢，我想應(yīng)該是有的吧。
第二個指的是草稿工整。
我的草稿是非常工整的。拍幾張我最近計算時候書寫的草稿
在多年前我的草稿就是如此，不會東一塊西一塊。
這在考場上是十分有用的，基本上一眼就能看出來在哪一步算錯了。如果沒有帶其他顏色的筆，我也會用黑筆把計算的關(guān)鍵步驟圈出來。
這個習(xí)慣為我做題節(jié)省了非常多的時間，尤其是檢查的時候。
第三個指的是卷面工整整潔。
相信大家從我貼的草稿也可以想象到我考試卷面的工整整潔程度。如果說有個參照的話，我會提一下前幾年很火的錢學(xué)森考試卷的例子
這是錢老的卷面，事實上在每次考試中我的卷面也是如此：合理的空間配置、工整的筆跡、以及著重標(biāo)記關(guān)鍵步驟和答案等。
作為一個批改過高考卷的人，我可以很負(fù)責(zé)任地告訴大家這就是改卷老師想看到的卷面。
你可以想象一下，如果你是閱卷老師，看到這樣的卷面，心里會想什么。至少我會想，這樣的學(xué)生就是滿分的料子。幫他檢查一下答案對不對，若是全對，我連過程都不想看了，直接給他滿分。
作者最近給學(xué)生整理的中考解析
而在黑板上書寫板書的時候，我也會盡量寫得工整清晰。
以前給人講課時的板書，狗追兔子的追線問題
如果是教科書上沒有的，我自己的備課稿件，我也會工整書寫，并復(fù)印給學(xué)生使用。
備課講義手稿2
一般來說，雖然高考數(shù)學(xué)，每個大題都有多種方法的多種給分方案，并且老師改卷只看給分關(guān)鍵步驟，答到點子上了，給多少分，沒達(dá)到，就不給。
但是盡管有如此的步驟分評判方法，但是并不是卷面不影響成績。對于閱卷老師而言，數(shù)學(xué)大題還是有輕微幾分的自主裁量權(quán)的。這個主要體現(xiàn)在學(xué)生總是能夠?qū)懗鲆恍┠＠鈨煽傻脑挘罢f他對也有道理，說他不對也說得過去”這樣的步驟，對應(yīng)到某些學(xué)生“掌握了知識點，但沒完全掌握”的狀態(tài)。
相信無數(shù)的老師強(qiáng)調(diào)過：卷面是隱形的加分點。
這句話不是空穴來風(fēng)。當(dāng)老師的這點都懂，這時候卷面的價值就來了。
閱卷有一個不成文的規(guī)定，如果你的答案半對不對，與其在那里糾結(jié)半天你寫得到底算不算對，要不要給你分，基本上就是看卷面，寫得工整判你對，寫得亂七八糟直接判錯。
也許我和你寫的內(nèi)容都是一模一樣的，但我就是因為卷面問題比你高兩分，你覺得氣不氣。
在學(xué)校里，你可能還會因為自己“寫的是3但長得像5被老師判錯扣分”這件事耿耿于懷，找任課老師理論，但如果是中高考呢？
而在目前的閱卷制度下，你的一份卷子，會被按題目拆分，會被十幾個人批閱——卷面的影響，會被放大至少十倍。
說句不好聽的話，如果你每道大題都寫得模糊不清亂七八糟一片，每道大題偷偷扣你一兩分卷面分，加起來十分就沒了。更可怕的是，這還只是一門科目。
把字寫工整，是對別人的尊重，也是對自己負(fù)責(zé)。這不是要求把字體書寫得多么美觀，多么藝術(shù)，只是要求你寫的字能被人輕易認(rèn)出來。
6
不要在一道題上死磕
我并不是希望各位安排好多少時間做選擇題，多少時間做填空，多少時間做大題，多少時間檢查。這些都是會因為試卷難度有出入的。
我要強(qiáng)調(diào)的一點是，不要在一道題上死磕。
哪怕是我這樣次次考滿分的人，我也會選擇合理放棄一些題目，去先把分值更高的所有題目的分拿到手，再用剩下的時間回去死磕。
有些題，想不到就是想不到，分值又低，合理取舍是很重要的。
之前陶平生出高考卷，最后一題全省無人做對。如果我參加了那場考試，我一定會在最后二十分鐘的時候放棄這道題，用二十分鐘時間把前面所有題目檢查一遍。
陶平生教授出的2008年江西高考數(shù)學(xué)大題
7
一定要留下時間檢查
前面說到，合理取舍。但是對于我而言，每次考試時間還是比較寬裕的，兩個小時的數(shù)學(xué)考試，我一般能夠剩下30多分鐘來檢查。
如果是比較難的卷子，我也能至少留下十五分鐘去檢查。
主要原因是，在第一遍做的時候，有非常多的題目我總能挑選出我覺得最快速的解題方法去求解。而對于填空和選擇題，有時候不需要太嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)證明，有時候數(shù)學(xué)直觀好，直接猜出圖形的特殊位置、方程的特殊解、達(dá)到最值時候的取等條件等等，那就直接寫上答案就行，回頭做完卷子，還有時間再回來補(bǔ)充證明。
其次是，檢查的時候根據(jù)剩余時間的多少，來確定檢查方案。
如果時間格外充裕，我檢查一道題的方法是選擇換一種新的方法重做這道題。
這樣做有一個好處，就是如果你用兩種差別較大的方法在同一道題解出同樣答案，那么可以直接斷定你這道題就是做對了。因為兩種不同方法解出相同答案的概率是極低的。
但是這樣的策略必須有一個前提條件：你得想得到兩種解法（又或者說有的題目其實就只有一種解法）。
如果檢查的時間不夠充裕或者說確實想不到新的解法，我會選擇順著一開始的解題步驟，一步一步重新算一遍。
注意是重新寫一遍而不是看著草稿看一遍。基本上你看一遍是看不太出錯誤的，也就是所謂的“檢查不出來”。而如果你真的老老實實再去打一遍草稿，你就會很明顯知道哪一步算錯了。
我一般會預(yù)留20多分鐘去檢查，但是如果真的卷子特別難，時間沒那么充裕，那我也會做好不整體檢查的準(zhǔn)備，但是相應(yīng)地，我會告訴自己，之后每算一步都要很仔細(xì)。
8
適當(dāng)?shù)摹巴稒C(jī)取巧”
曾經(jīng)有同學(xué)問過我一道選擇題，類似是f(x)≤a恒成立，求a的取值范圍。
給了四個選項，分別是a>1，a≥1，a
我告訴他說，這道題直接求解f(x)的最大值其實很難，但是如果我們觀察到“如果對于某個a能滿足這個不等式，那么比它大的所有a都應(yīng)該被包括進(jìn)去”那么很顯然，直接選擇a≥1這個選項，因為如果它不對，其他選項就更不可能對。
這對于數(shù)學(xué)直覺好的同學(xué)來說是基本操作，但是這樣的題目會讓非常多“做題死板”的同學(xué)坑進(jìn)去大量時間。
當(dāng)然，對于高考而言幾乎不可能出現(xiàn)這么顯然的選項，但是在平時大大小小的模擬測驗中，難免會出現(xiàn)這樣選項質(zhì)量不高的題，又或者就是為了鍛煉學(xué)生“投機(jī)取巧”的能力而故意設(shè)置成這樣的選項。
因此，就考試而言，掌握適當(dāng)?shù)膽?yīng)試解題技巧，也應(yīng)該是學(xué)生們在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)該留意的一點。
9
不要懶惰
我從本科一年級開始就開始做中學(xué)生家教，同時在校內(nèi)也積極參加學(xué)工部的勤工儉學(xué)項目，為學(xué)校內(nèi)其他院系數(shù)學(xué)功底薄弱的同學(xué)提供數(shù)學(xué)補(bǔ)習(xí)。
在我接觸過大量的學(xué)生以后，我愈發(fā)覺得，孔子的“有教無類”是有道理的。當(dāng)然在此基礎(chǔ)上還有“師傅領(lǐng)進(jìn)門，修行在個人”。
總有學(xué)生或是家長抱怨說，孩子智商不行，腦子不夠靈光，學(xué)不了理科。
于是我做過這樣一個實驗：我把數(shù)學(xué)書上重要的公式全部整理出來，其實每一章節(jié)也沒幾個公式，半頁紙就能寫下。
我對學(xué)生說：“下次來上課，我會把這張紙上的知識點做成填空題，你完全不需要動腦子，你把它一模一樣地、原封不動地默寫下來。”學(xué)生覺得這任務(wù)很簡單。
但是一周以后，默寫效果總是非常差。
我再讓他們回去記憶默寫，依然非常差。
過了幾周，我連這幾個公式出現(xiàn)在教科書第幾頁第幾行都記住了，學(xué)生還是默寫不出來。
只有我說“若是默寫不出來，那就不許下課，不許吃飯，直到默寫出來為止。”的時候，即使是叫嚷著“完全不會”的學(xué)生，也能把所有知識點都默寫出來了。
這也就說明了，沒有笨學(xué)生，只有懶學(xué)生。
高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的部分公式
為什么總有人說題海戰(zhàn)術(shù)有用？我覺得題海戰(zhàn)術(shù)起碼保證了一件事：反復(fù)鞏固知識點。
上課的時候看一遍公式，當(dāng)場記住了，第二天就忘。而課后習(xí)題，每做一道題，就寫一遍公式，連著做十題二十題，就相當(dāng)于寫十遍二十遍公式，真的會有人笨到簡簡單單一行公式，寫上一百遍還記不住嗎？
有一句大家耳熟能詳?shù)脑姡骸凹埳系脕斫K覺淺，絕知此事要躬行。”光是上課聽老師講解，看著書死記硬背的學(xué)習(xí)效果是很差的，不如自己推導(dǎo)一遍公式，做上幾道典型例題。
在我給學(xué)生上課的過程中，我會經(jīng)常詢問學(xué)生，你們聽懂了嗎？得到的回答幾乎都是：“聽懂了。”而如果我讓學(xué)生站起來回答問題，又或者僅僅是把我剛才說過的話原封不動復(fù)述一遍，他們就又會蹦出倆字“不會”。
只有在我嚴(yán)格要求他們把板書抄下來作為筆記并當(dāng)著我的面推導(dǎo)一遍，他們恍然大悟，說上一句：“哦！原來是這樣啊！”我才能相信他們的確是掌握了。
老師上課講過的內(nèi)容，下課以后完全不復(fù)習(xí)，每天根本沒花多少時間學(xué)習(xí)。平時周一到周五五天光顧著玩，就靠著周末的補(bǔ)習(xí)吊著一口氣，兩天打魚五天曬網(wǎng)，每個周末補(bǔ)習(xí)的時候搞懂了知識點，到學(xué)校里去又只光顧著玩。到頭來還要埋怨補(bǔ)習(xí)沒效果、老師教學(xué)水平低、題目太難、自己太笨……找盡理由，就是不愿意承認(rèn)自身的懶惰。這難道不是多數(shù)學(xué)生的真實寫照嗎？
只不過，我也認(rèn)為不能把問題的根源簡單歸結(jié)為懶惰，它的背后還有更深層的原因。學(xué)生們年紀(jì)輕，并沒有太多的閱歷。我相信無數(shù)的同學(xué)，根本還沒有搞懂“為什么要學(xué)習(xí)”這一問題。中學(xué)生也好，大學(xué)生也是如此。多數(shù)時候，限制一個人的并不是能力，而是態(tài)度。
最后
回答大家關(guān)心的幾個問題 ...
發(fā)布這個回答后，收到了大家很多的看法，因此我再來補(bǔ)充一些。
Q1：中高考、自主招生這類考試，能用超綱的方法解題嗎？
能。就一點：做出來比不會做強(qiáng)。
我甚至巴不得學(xué)生發(fā)明一種我看不懂的方法來解題。
只要你熟練掌握了正確的知識，那就大膽地去使用。
但前提是你要做到：
使用了正確的方法
解出了正確的答案
規(guī)范地書寫解答
老有學(xué)生說：我用了某某方法某某定理，結(jié)果沒有步驟分了。我把卷子拿來一看，分明就是定理都背錯了。
很多老師不建議學(xué)生使用超綱方法答題的根本原因就是，學(xué)生們對這些知識沒有經(jīng)過系統(tǒng)的訓(xùn)練，基本都是稀里糊涂亂用的。多數(shù)情況并不是“使用了超綱知識被扣分了”，反而是“你以為你用了正確的方法，實際上用錯了”
看到數(shù)列就求極限的，極限的存在性證了嗎？沒證的，扣分。
上來就給未知函數(shù)求導(dǎo)要么積分的，可微性證了嗎，可積性證了嗎？沒寫的，扣分。
就閱卷而言，即使你在卷子上把哥德巴赫猜想證出來了，題沒做對，沒分。
這里我講一個令我印象深刻的故事。
有一年我參加大學(xué)的自主招生閱卷工作，考生多為高中學(xué)生，壓軸大題是證明一個方程無解。
試評完發(fā)現(xiàn)考生們主要使用兩種方法：
多數(shù)學(xué)生使用的第一種方法中規(guī)中矩，構(gòu)造函數(shù)求 n?次導(dǎo)數(shù)，分奇偶討論單調(diào)性，步驟繁瑣，需要書寫整整一頁。
少部分學(xué)生使用的第二種方法是使用泰勒公式，將題目給的函數(shù)展開至 n?階。
泰勒公式是超綱的公式，因此我們在試評的時候發(fā)現(xiàn)卷子上凡是使用泰勒公式的同學(xué)都是一知半解的，所有使用泰勒公式的同學(xué)，都在展開完以后使用了佩亞諾型余項，但是佩亞諾型余項無法證明方程無解。
因此閱卷組長通知，凡是使用泰勒公式解題的同學(xué)，一律判為0分。
我改著卷子的時候，突然一份答案呈現(xiàn)在我的眼前，字跡清秀但卻只有寥寥兩行。
我的第一印象就是答卷沒寫得密密麻麻的，基本就是不會的，何況又是這種只寫了兩行的答案呢。想著等會兒給他0分，但還是仔細(xì)查看了他寫的這兩行過程。
第一行：“使用帶拉格朗日型余項的泰勒公式在 x=0?處展開至 n?階，其中 ξ?介于?0?和 x?之間，故由余項非零知方程無解，得證。”
第二行則是余項的公式。
我當(dāng)場舉手示意：“組長，這里有個用泰勒的，可他是對的！”
教授過來看了一眼說了兩句話，第一句是“給他滿分”，第二句是“這樣的同學(xué)就是我們想要的。”
我這里給大家解釋一下：寥寥兩行文字，但全是精煉的術(shù)語，沒有半點廢話。而能夠精確地使用帶拉格朗日型余項的泰勒公式，則說明他至少精讀過高等數(shù)學(xué)的教材，而不是囫圇吞棗地翻看過。
戲劇般的劇情，兩行證明，滿分到手。
結(jié)合以上，我的建議就是，我不排斥學(xué)生使用超綱方法解題，但學(xué)生很可能因為掌握得不夠徹底、不夠?qū)I(yè)、甚至因為使用錯誤而有扣分風(fēng)險。所以我也總是對學(xué)生們說，除非你真的想不出課內(nèi)的方法，那么就用超綱的方法先把答案做出來。
超綱方法做對了，好歹是能拿到分的。不超綱方法死活想不到，做不出來可是一分都沒有的。
我在高中階段考過無數(shù)次的多校聯(lián)考數(shù)學(xué)單科第一名，有些大題，尤其壓軸題的數(shù)列或者導(dǎo)數(shù)不等式就是靠微積分解出來的。題目本身就難，得分率低老師改卷就仁慈，哪里還會摳那么多的細(xì)節(jié)，把答案做對就直接給你滿分了，而這種時候我的競爭對手都沒做出壓軸題。
有同學(xué)表示自己平時使用非主流方法總被老師判錯，對此我的評價則是：水平越低的老師，思想就越是僵化。數(shù)學(xué)這門學(xué)科，只有好的方法、差的方法，沒有一定要使用的標(biāo)準(zhǔn)方法。
考試越是大型，就越應(yīng)該大膽地去使用——放心，閱卷老師的水平高得很，只要你的辦法是對的，你一定能拿到該拿的分?jǐn)?shù)。
閱卷老師心里清楚，沒有任何理由淘汰一個優(yōu)秀的同學(xué)。
Q2：評論區(qū)不少人說，學(xué)習(xí)還是得看天賦，說說我的看法。
你們知道在頂級學(xué)府里面最讓人絕望的一點是什么嗎，那就是比你聰明的人卻比你更努力。
而現(xiàn)實生活中從小學(xué)到大學(xué)這樣的例子比比皆是，只是很多人步入社會以后才意識到這一點。
說個老梗吧，科比被問到“你為什么如此成功”時說：“你們見過凌晨四點的洛杉磯嗎。”
天賦因人而異，努力總不是因人而異的吧。在一些高中，你甚至能在正月初二就看見里面坐著零星的自愿來學(xué)習(xí)的同學(xué)。如果你問我為什么知道，我會告訴你因為我當(dāng)年就是其中之一。
誠然，即使不說天賦，不同地方也有著巨大的教育資源差異。就初中教師而言，有的是專業(yè)的教育博士，有的卻自己都沒搞懂教材便給學(xué)生講課。“千里馬常有，而伯樂不常有。”有好天賦還不夠，還得有好老師。這些客觀差距就是無法彌補(bǔ)的。
但若是有人大放厥詞，喊勤奮無用——騙別人可以，別騙自己了吧。
Q3：我看評論區(qū)有人說，有天賦的人看東西一看就懂，沒天賦的人看一百遍也看不懂。
這一點其實我也想講一個故事。
我初中的時候很喜歡玩計算器，就看到計算器上有很多亂七八糟的功能，不少我能看懂，但也有一些我看不懂的，尤其是卡西歐計算器右上角的 ∫記號。
我就和周圍同學(xué)開始研究啊，這東西到底是什么意思。結(jié)果有次下課一個同學(xué)很興奮跑來找我說，我明白了， ∫ba?kdx?的意思就是“上面的減去下面的再乘以中間的”。
因輸入法問題，完整數(shù)學(xué)符號見圖片
我按了幾次發(fā)現(xiàn)是對的，但疑問也隨之而來：這么簡單的計算，難道還值得人們發(fā)明一個專門的記號來表示嗎？
公式結(jié)果=上面減下面再乘中間的
實在想不明白，還是決定去問老師了，老師看了一眼說：“這個是微積分啊，大學(xué)里面學(xué)的。”
但我沒有就此打住，而是追問老師：“老師，我能學(xué)嗎？”
老師撂下一句“你現(xiàn)在還學(xué)不懂吧”就離開了。
我回家以后不是很服氣，上網(wǎng)查了一通，沒看懂。
碰巧我媽當(dāng)時覺得我英語不好，在家邊上給我找了個大學(xué)生家教補(bǔ)習(xí)英語，我記得是個二本院校的文科女大學(xué)生。當(dāng)時她應(yīng)該是快期末考試了，給我補(bǔ)習(xí)的空檔還拿著一本微積分的書復(fù)習(xí)。我偷瞄了一眼，這書里全是 ∫?記號！
我當(dāng)時就來勁了，我跟她說，你的這本書可以借我看看么？
她說可以啊，便把書遞給我。書名我忘了，大抵是所謂《微積分教程（文科專業(yè)用）》之類的。我翻了翻，便不太情愿地還給她了。
她見我如此有興趣，便隨口說道：“你要是想看，這本可以送你，我回去再買一本就是了，學(xué)校舊書攤里這些書多得是。”
因此我便得到了我視若珍寶的人生中的第一本微積分的教材，雖然它到我手里的時候已經(jīng)很舊了。
我特別愛那本書，可是我根本看不懂。
但這本書是我的，一遍看不懂我可以看兩遍，兩遍看不懂我可以看三遍。
老師同學(xué)那時都對著我笑，說我要走火入魔了。
我也忘了我到底翻過幾遍那本書，但是我去哪里都要帶著它，即使看不懂也對著它發(fā)呆。若是真的大致說個數(shù)的話，至少得有個幾百遍。本來書就有點破舊，后來書的封皮都被我翻得整個掉下來了。
我只記得在某個晚自習(xí)我突然好像如醍醐灌頂，猛地一下頓悟——突然就看懂了。
那一刻我欣喜若狂，趕緊翻回第一頁重新往后看，果然每一頁都能看懂了。
古人有云：書讀百遍，其義自見。
至此，我有關(guān) ∫ 的疑問全部消除。
微積分基本定理——人類歷史上最偉大的公式之一。
幾天后初中課堂的數(shù)學(xué)課，恰好在講動點求面積最大值的中考壓軸專題。別的同學(xué)在那悶頭苦算，而我看了一眼就覺得直線和拋物線相切的時候面積最大……等等，相切……
前不久剛看懂的微積分書里不就教了怎么算切線嗎？！
把微積分應(yīng)用到初中題目一做，完全就是秒殺，連我自己都驚呆了，居然題目還可以這么做。用現(xiàn)在的話來說，這叫“降維打擊”。
再后來我就發(fā)現(xiàn)，原來這本書講得這么簡單。（畢竟是文科專業(yè)用書）
后來上了高中，則是理工科用的微積分教材，甚至數(shù)學(xué)專業(yè)用的數(shù)學(xué)分析了，而看后面這些書帶給我的震撼，遠(yuǎn)沒有那本破書來得巨大。
我想這就是哲學(xué)里面所謂的量變引起質(zhì)變吧。
我不覺得一本高中的教科書真的有人“看一百遍也看不懂”，我覺得看不到一百遍，甚至看不到十遍的可能性更大一些。
行百里者半九十，若是真能做到下定決定看上一百遍，我想大抵還是能看懂的吧。
要是還不行，那就看一百零一遍試試？
萬一真看懂了呢。
書中自有黃金屋，書中自有顏如玉。
讀書人的快樂，也便在這兩句詩之中了。
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